在某些情况下，被判处拘役一个月十天的罪犯可能有资格申请监外执行。监外执行的决定通常由有关法院或监狱管理机构做出，根据罪犯的行为表现、家庭情况、社会风险评估等因素进行综合考量。因此，是否可以监外执行需要具体情况具体分析，不能一概而论。