一、引言

平面向量的数量积与坐标表示是向量运算的重要组成部分，也是理解向量性质和应用的关键。

二、平面向量的数量积

定义：

设有两个向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，则向量 a 与 b 的数量积（也称为点积）定义为：a · b = a b cosθ。其中 a 和 b 分别为向量 a 和 b 的模，θ 为向量 a 和 b 之间的夹角。

性质：

交换律：a · b = b · a

分配律：(λ a) · b = λ(a · b) = a · (λ b)；(a + b) · c = a · c + b · c

若 a ⊥ b，则 a · b = 0；反之，若 a · b = 0，则 a ⊥ b 或 a = 0 或 b = 0

a · b ≤ a b，当且仅当 a 与 b 共线时等号成立。

三、平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，任意向量 a 可以表示为坐标形式 (x, y)，其中 x 和 y 分别为向量 a 在 x 轴和 y 轴上的投影长度，也称为向量 a 的坐标。这种表示方法称为向量的坐标表示法。

四、平面向量数量积的坐标表示

设有两个向量 a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2)，则它们的数量积可以表示为坐标形式：a · b = x1x2 + y1y2。即向量的数量积在坐标表示下就是对应坐标分量的乘积之和。

五、应用举例

计算两向量的夹角：通过向量的数量积可以方便地求出两向量之间的夹角。例如计算向量 a = (3, 4) 与向量 b = (5, -12) 之间的夹角，可以利用数量积公式和向量模的公式求出 cosθ 的值，然后通过反余弦函数求得夹角 θ。

判断两向量的垂直关系：若两向量的数量积为零，则这两向量垂直。例如判断向量 a = (2, -1) 与向量 b = (-1, 2) 是否垂直，可以通过计算它们的数量积发现结果为0，因此这两向量垂直。

解决物理问题中的功和能问题：在物理学中力和位移都是矢量具有大小和方向的特点。利用数量积可以方便地求解力对物体所做的功或物体所具有的能等问题。例如求解一恒力作用下物体沿直线运动的功时可以将力和位移表示为向量然后通过数量积求得功的大小。

计算机图形学中的应用：在计算机图形学中向量的数量积被广泛应用于图像处理、动画制作等领域。例如在实现光照模型时可以通过计算光源方向与物体表面法线方向的数量积来求得物体表面的光照强度从而实现逼真的光照效果。