单位废弃的平顶帽子处理方式主要取决于帽子的材质和状况。一般来说，如果帽子是由布料或毛线制成，这些材料都是可以回收再利用的，因此可以将它们投放到蓝色的可回收物容器内。在投放时，建议轻投轻放，保持帽子的清洁和避免污染，这有助于回收后的再利用。
如果帽子的状况仍然较为完好，没有什么不可修复的脏污或破损，那么可以考虑清洗整烫后，再次利用或捐赠给需要的人。此外，一些社区附近可能会有废旧衣物处理箱子，也可以将帽子整理好放进去，以便专业人员统一处理。
请注意，如果帽子是由其他特殊材料制成，或者含有不可回收的部分，那么处理方式可能会有所不同。在这种情况下，建议咨询专业的回收机构或当地环保部门，以获取更准确的处理建议。