等比数列是数学中的一种基本数列，其特点是从第二项起，每一项都是前一项乘以一个常数，这个常数称为公比。等比数列的一般形式可以表示为：

a, aq, aq^2, aq^3, ..., aq^(n-1), ...

其中，a 是首项，q 是公比，n 是项数。

现在，我们假设有一个由等比数列衍生的新数列，这个新数列可能是通过对等比数列的某种操作或变换得到的。推导新数列的过程可能涉及以下几种情况：

1. **求和**：如果我们要对新数列进行求和，那么我们可能需要利用等比数列求和的公式。对于一个等比数列，其前 n 项和的公式为：

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)

其中，S_n 表示前 n 项的和。

2. **求积**：如果我们要对新数列进行求积，那么我们可能需要利用等比数列求积的公式。对于一个等比数列，其前 n 项的积为：

P_n = a^n * q^(n(n-1)/2)

其中，P_n 表示前 n 项的积。

3. **求项**：如果我们要对新数列进行特定的项进行操作，比如求第 k 项的值，那么我们直接使用等比数列的通项公式即可：

a_k = a * q^(k-1)

4. **变换**：有时候，我们可能通过对等比数列进行变换得到新数列，比如通过乘以一个系数、加上一个常数、指数变换等方式。

5. **复合运算**：在某些情况下，新数列的推导可能涉及等比数列的复合运算，比如求多个等比数列的和的和，或者求等比数列的幂次的和等。

总的来说，由等比数列衍生的新数列的推导过程，主要取决于我们想要对原等比数列进行何种操作或分析。在推导过程中，我们通常会利用等比数列的基本性质和相关的数学公式。